Le fondement théorique
Avant qu'une seule opération ne soit effectuée, nous devons nous assurer que notre recherche n'est pas vaine. Nous commençons par le Problème de valeur initiale (PVI):
$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$
Théorème 2.4.2 affirme qu'il existe une solution unique $y = \phi(t)$ du problème donné dans un certain intervalle autour de $t_0$. Cette garantie justifie notre démarche numérique ; si aucune solution n'existe, ou si elle n'est pas unique, nos algorithmes peuvent converger vers une absurdité ou diverger complètement.
Le pont intégral
Presque toutes les méthodes numériques partagent le même ADN mathématique, dérivé du théorème fondamental du calcul. Nous pouvons exprimer l'évolution de la solution $\phi(t)$ d'un point à l'autre comme une identité exacte :
$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$
En substituant l'équation différentielle $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$, nous obtenons la Formule de reconstruction:
$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$
Du continu au discret
Un ordinateur ne peut évaluer l'intégrale d'une fonction inconnue $\phi(t)$. Par conséquent, nous discrétisons. Dans le cas le plus simple, nous approximons l'aire sous $f(t, \phi(t))$ par un rectangle de largeur $h = t_{n+1} - t_n$ et de hauteur prise au point initial $f(t_n, y_n)$. Ce saut d'une intégrale courbe à un rectangle hachuré (comme indiqué à la figure 8.1.1) crée la formule d'Euler:
$$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$
Ici, $y_n$ représente l'approximation numérique de la vraie valeur $\phi(t_n)$. L'erreur introduite par cette approximation rectangulaire est appelée erreur de troncature locale.